Convexité - Fonction convexe
Définition
Définition :
Soit \(f:I\to J\)
\(f\) est dite convexe si $$\forall (x,y)\in I^2, \forall \lambda\in[0,1], f\big ((1-\lambda)x+\lambda y\big ) \leqslant (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$$
Propriétés
Caractérisation
Proposition :
Soit \(f:U\to{\Bbb R}\) deux fois différentiable, avec \(U\) un ouvert convexe de \({\Bbb R}^n\)
On a les équivalences : $$\begin{align}&{{ f\text{ est convexe} }}\\ \iff&{{\forall x,y\in U,\qquad\;\;\,\qquad f(y)-f(x)\geqslant\langle{\nabla f(x),x-y}\rangle }}\\ \iff&{{\forall x,y\in{\Bbb R}^n,\qquad\;\;\,\quad\; \;\, \langle{\nabla f(x)-\nabla f(y),x-y}\rangle \geqslant0}}\\ \iff&{{\forall x\in U,\forall v\in S^{n-1},\quad \langle{\operatorname{Hess}(f)(x)v,v}\rangle \geqslant0 }}\end{align}$$
Dérivée
Proposition :
$$f\text{ convexe }\iff f^\prime\text{ croissante }$$
Lien avec les fonctions affines
Proposition :
Une fonction convexe peut être exprimée comme un \(\sup\) de fonctions affines : $$\phi(x)=\underset{ax+b\leqslant \phi(x)}{\sup_{a,b\in{\Bbb R}} }ax+b$$
Notions liées
ConcavitéPoint d'inflexionLemme des trois pentes
Exercices
START
Exo-Démo
Consigne: Soient \(A(1,2)\), \(B(4,1)\) et \(C(3,4)\) trois points du plan euclidien
Donner un système d'inéquations linéaires dont la solution est l'intérieur du triangle \(\triangle ABC\)
1: Équation de \((AC)\) : \(-x+y=1\)
Le point \(B\) est tel que \(-x+y=-3\lt 1\)
Donc le demi-plan de bord \((AC)\) contenant \(B\) admet l'équation $$-x+y\leqslant1$$
De même, l'équation du demi-plan de bord \((AB)\) contenant \(C\) et l'équation du demi-plan de bord \((BC)\) contenant \(A\) admettent respectivement comme équation : $$x+3y\geqslant7\quad\text{ et }\quad3x+y\leqslant13$$
1i: Équation des différents demi-plans
2: L'équation de \((ABC)\) est donc : $$\begin{cases}-x+y\leqslant1\\ x+3y\geqslant7\\ 3x+y\leqslant13\end{cases}$$END
(
Paramétrisation - Paramétrage)